高中數(shù)學(xué)高考沖刺數(shù)列題真題講解第一講判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法等差數(shù)列是高中所學(xué)數(shù)列中的兩個(gè)基本數(shù)列之一，正確判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列是研究等差數(shù)列的重要前提，根據(jù)高中知識(shí)特點(diǎn)，我們有如下幾種常用的判斷方法：1．定義法：（常數(shù)）（）是等差數(shù)列。（做解答題常用此法）2．遞推法（等差中項(xiàng)法）：（）是等差數(shù)列。（做解答題常用此法）3．性質(zhì)法：利用性質(zhì)來(lái)判斷。4．通項(xiàng)法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列。（做選擇題或填空題常用此法）5．求和法：（為常數(shù)，為的前項(xiàng)的和）是等差數(shù)列。（做選擇題或填空題常用此法）6.數(shù)學(xué)歸納法（常用于解答題）例１　已知數(shù)列{}滿(mǎn)足下列條件，判斷數(shù)列{}是否為等差數(shù)列？若是等差數(shù)列，請(qǐng)指出公差是多少？(１)＝n+1(2)=(3)=n,(4)=+n(5)=解：（１）是等差數(shù)列，公差為１。（2）不是等差數(shù)列?！。ǎ常┦堑炔顢?shù)列，公差為０。（4）是等差數(shù)列，公差為2。（5）不是等差數(shù)列。例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，。⑴求證：是等差數(shù)列；⑵求的表達(dá)式；⑶若，求證：解：⑴由，得，兩邊同除以，得，即，是等差數(shù)列，公差是2，首項(xiàng)為。例3已知，，成等差數(shù)列，則，，是否也成等差數(shù)列？并說(shuō)明你的理由。解：方法一：∵，，成等差數(shù)列，∴，即,∴∴，，也是等差數(shù)列。方法二：∵，，成等差數(shù)列，∴，即∴，，也是等差數(shù)列。方法三：∵，，成等差數(shù)列，∴，，也成等差數(shù)列，即，，也是等差數(shù)列，故，，也是等差數(shù)列。例4：設(shè)數(shù)列中，，且（），證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求。解：由已知，去分母得，,，兩邊同除以，得，∴是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，故（）。經(jīng)驗(yàn)證時(shí)也成立，所以（）。例5：設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且。⑴求的值；⑵求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：，，又，，，又，，，綜上知，，；（２）由（１）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；②假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，，則，又，，解得，，即當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立；由①②知，．,第二講等差數(shù)列通項(xiàng)之比與前項(xiàng)和之比方法規(guī)律：解決已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和之比，求項(xiàng)之比這樣的問(wèn)題，最簡(jiǎn)便的一種方法就是將項(xiàng)之比轉(zhuǎn)化為和之比，轉(zhuǎn)化的途徑就是將式子變成前項(xiàng)和的形式；當(dāng)然靈活應(yīng)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本思路。例1兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿(mǎn)足對(duì)任意的都有成立，求。法一：，，，，同理，故法二：小結(jié)：法三：等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù),可設(shè)，則，小結(jié)：數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和，,變式1：兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿(mǎn)足對(duì)任意的都有成立，求。解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù),可設(shè)，則，小結(jié)：由，求，方法二和方法三是通法。求，設(shè)，方法三是通法。變式2(2014全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽陜西省預(yù)賽一試試題)已知兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿(mǎn)足對(duì)任意的都成立，則。解：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可設(shè)為,其中是常數(shù)，故設(shè)，其中是常數(shù)，則，，故。小結(jié)：數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中是常數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和，其中是常數(shù),練習(xí)：1.等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，都有,，求。2.等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，都有，求。3.兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿(mǎn)足對(duì)任意的都，求。4.（2013年“希望杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)之和分別為，滿(mǎn)足對(duì)任意的都，求。第三講等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)例1等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足求。法一：基本量法，求首項(xiàng)，公差由已知得則法二：由已知得則，故法三：設(shè)，其中是常數(shù),,則，故，則法四：利用，數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)，則，，公差為，通項(xiàng)為，故，則法五：同法四，先求得，則由，得，即，故。法六：由，得則法七：由等差數(shù)列性質(zhì)得：數(shù)列是等差數(shù)列，即：三數(shù)，成等差數(shù)列，公差是600，故，。小結(jié)：由等差數(shù)列性質(zhì)得：數(shù)列是等差數(shù)列。變式1：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足,求。分析：方法一至方法四均可解，是通法。下面用性質(zhì)求解。解：由等差數(shù)列性質(zhì)得：數(shù)列是等差數(shù)列，即數(shù)列：設(shè)，公差為，則，得，公差，。變式2：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足求。分析：方法一至方法四均可解。練習(xí)：1.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足求。2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（）。3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若則等于（）。4.等差數(shù)列中，，則。,第四講等差數(shù)列與數(shù)列前項(xiàng)和例1：已知等差數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：設(shè)，因則，得，，，從而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上：。小結(jié)：此類(lèi)題的關(guān)鍵是找到通項(xiàng)中哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)，采用分類(lèi)討論，然后轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或部分等差數(shù)列求和，變式1：已知等差數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：容易得，，，，,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，綜上：。小結(jié)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找到數(shù)列的征服分界點(diǎn)。通常有四種情形：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)時(shí)，，，④當(dāng)時(shí)時(shí)，，。練習(xí)：1.已知等差數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和。2.已知等差數(shù)列中，，求數(shù)列。3.（2013浙江）已知公差為的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列。,⑴求,;⑵若，求。4.已知數(shù)列，滿(mǎn)足，且成等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項(xiàng)和。,第五講等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值例1：在等差數(shù)列中，，，求的最大值。解：由，得，法一：，有二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，有最大值169。法二：，，由，得，故當(dāng)時(shí)，有最大值，。法三：由等差數(shù)列性質(zhì)知，對(duì)稱(chēng)軸為，故當(dāng)時(shí)，有最大值，。法四：，，又，故，故當(dāng)時(shí)，有最大值，。變式1：在等差數(shù)列中，，，⑴求，⑵求前項(xiàng)和的最小值，并指出為何值時(shí)取最小值。解：容易求得，，。法一：由，得，又故當(dāng)，有最小值,法二：，，故當(dāng)，有最小值說(shuō)明：當(dāng)通項(xiàng)中有0時(shí)，存在兩個(gè)取到最值。小結(jié)：此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是找到通項(xiàng)中哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)。①當(dāng)時(shí)，無(wú)最大值，有最小值；②當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，有最大值；③當(dāng)時(shí)時(shí)，有最大值，無(wú)最小值。④當(dāng)時(shí)時(shí)，有最小值，無(wú)最大值練習(xí)：1.（浙江）設(shè)是公差為的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.若，則數(shù)列有最大項(xiàng)；B.若數(shù)列有最大項(xiàng)，則；C.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均勻；D.若對(duì)任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列。2.（福建）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則當(dāng)?shù)娜∽钚≈禃r(shí)，等于（）。3.等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，，⑴求公差的取值范圍；⑵中哪個(gè)最大值。4.在等差數(shù)列中，，，求當(dāng)取何值時(shí),有最小值。5（2014北京理12）若等差數(shù)列滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)，的前項(xiàng)和最大。第六講判斷與證明等比數(shù)列的方法　掌握判定等比數(shù)列的方法,目的是深刻理解等比數(shù)列的基本概念,熟練應(yīng)用有關(guān)知識(shí),為解等比數(shù)列綜合題奠定良好的基礎(chǔ).具體判定方法如下:一、定義法(又叫遞推公式法)如果一個(gè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足(為不為零的,常數(shù)),則這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列.由此定義可判定為等比數(shù)列二、看通項(xiàng)與前n項(xiàng)和法（1）通項(xiàng)法：我們知道,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為(的常數(shù)),反之如果數(shù)列的通項(xiàng)公式為(的常數(shù)且≠0),則數(shù)列是等比數(shù)列.這樣數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是(的常數(shù))且≠0.所以用通項(xiàng)公式也可是判定等比數(shù)列.（2）前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn能表示成(均為不等于0的常數(shù)且q≠1)的形式，則數(shù)列,是公比不為1的等比數(shù)列．這些結(jié)論用在選擇填空題上可大大節(jié)約時(shí)間． 例3若等比數(shù)列解析：用到上述方法，可得a=-1,大大節(jié)約了時(shí)間，同時(shí)大大提高了命中率．三、等比中項(xiàng)法3個(gè)非零的實(shí)數(shù)a,A,b,滿(mǎn)足=ab,則a,A,b成等比數(shù)列,A叫做a,b的等比中項(xiàng).可利用它來(lái)判定等比數(shù)列.四、運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從“時(shí)命題成立”到“時(shí)命題成立”要會(huì)過(guò)渡．,例5(2004全國(guó)高考題)數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知，．證明：數(shù)列是等比數(shù)列．證明：由，，知，，猜測(cè)是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：令.(1)當(dāng)時(shí)，，成立．(2)當(dāng)時(shí)，，成立．假設(shè)時(shí)命題成立，即．那么當(dāng)時(shí)，，命題成立．綜上知是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．評(píng)析：例5是常規(guī)的猜想證明題，考查學(xué)生掌握猜想證明題的基本技能、掌握數(shù)列前項(xiàng)和這個(gè)概念、用數(shù)學(xué)歸納法證明等比數(shù)列的方法五、反證法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的推理和運(yùn)算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時(shí)會(huì)遇到從正面不易入手的情況，這時(shí)可從反面去考慮．如：例6（2000年全國(guó)高考（理））設(shè)是公比不相等的兩等比數(shù)列，．證明數(shù)列不是等比數(shù)列．,證明：設(shè)的公比分別為，，，為證不是等比數(shù)列只需證．事實(shí)上，，又不為零，，故不是等比數(shù)列．評(píng)析：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、推理和運(yùn)算能力，對(duì)邏輯思維能力有較高要求．要證不是等比數(shù)列，只要由特殊項(xiàng)（如）就可否定．一般地講，否定性的命題常用反證法證明，其思路充分說(shuō)明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的重要性．以上五種證明方法的選用,應(yīng)因題而異.只要在平時(shí)的練習(xí)中不斷總結(jié),就能提高我們分析能力和解決問(wèn)題的能力.第七講等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)及應(yīng)用一．知識(shí)整理1.等比數(shù)列的定義：,一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式通項(xiàng)公式為3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推廣：4．等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)(1)在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a.特別地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列，公比為qk；一、等比數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)及應(yīng)用1.在等比數(shù)列中，若，則.【解答】.2.等比數(shù)列中，，，則?。窘獯稹?403.｛｝是公比為2的等比數(shù)列，且=，則等于．【解答】4004.等比數(shù)列中，，則=變式1等比數(shù)列，變式2已知等比數(shù)列各項(xiàng)為正數(shù)，且3是,=__________________5.在等差數(shù)列中，若，則有等式成立。類(lèi)比上列性質(zhì)，相應(yīng)的：在等比數(shù)列中，若，則有等式_______________成立?！窘獯稹?.已知，各項(xiàng)為正的等差數(shù)列滿(mǎn)足，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和是．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)，試問(wèn)數(shù)列有沒(méi)有最大項(xiàng)？如果有，求出這個(gè)最大項(xiàng)，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由?！窘獯稹浚?），又或若，則，與矛盾；若，則，顯然，（2），當(dāng)時(shí)，，歐時(shí)，，,數(shù)列是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（3），設(shè)是數(shù)列中的最大項(xiàng)，則由可得，數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)是．第八講等比數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)問(wèn)題等比數(shù)列前n項(xiàng)和的常用性質(zhì)(1)項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q.①若共有2n項(xiàng)，則S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1項(xiàng)，則S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．例1已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比與項(xiàng)數(shù)由題目可獲取以下主要信息：①等比數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別依次構(gòu)成等比數(shù)列；②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S偶∶S奇＝q.解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出項(xiàng)數(shù)與公比，然后建立方程組求解．[解題過(guò)程]　設(shè)此等比數(shù)列共2n項(xiàng)，公比為q.,由于S奇≠S偶，∴q≠1.由于奇數(shù)項(xiàng)依次組成以a1為首項(xiàng)，以q2為公比的等比數(shù)列，故所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇＝＝85①同理可得所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶＝＝170②②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，解得2n＝8，所以這個(gè)數(shù)列共8項(xiàng)，公比為2.變式1：等比數(shù)列共2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，求該數(shù)列的公比q.解析：　由題意知S奇＝S偶＋80，則S2n＝S偶＋S奇＝2S偶＋80＝－240，∴S偶＝－160，則S奇＝－80，∴q＝＝＝2.例2奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分段的類(lèi)型數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，且對(duì)任意n∈N，an與an＋1恰為方程x2－bnx＋2n＝0的兩個(gè)根.(Ⅰ)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解：(Ⅰ)由題意n∈N*，an·an＋1＝2n∴＝＝＝2'(1分)又∵a1·a2＝2'a1＝1'a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前項(xiàng)為a1＝1公比為2的等比數(shù)列，a2，a4，…，a2n是前項(xiàng)為a2＝2公比為2的等比數(shù)列　∴a2n－1＝2n－1'a2n＝2n'n∈N*　,即an＝又∵bn＝an＋an＋1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn＝2＋2＝3·2當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn＝2＋2＝2·2∴bn＝(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＋＝7·2－7　(當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10·2－7　(Sn＝變式：數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為.(1)求;(2)求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和.解:(1)由于,故,,故()(2)兩式相減得故第九講等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用間隔相等、連續(xù)等長(zhǎng)的片段和也成等比數(shù)列即：成等比數(shù)列。,注：當(dāng)且n為偶數(shù)時(shí)，不是等比數(shù)列。③“相關(guān)和”性質(zhì)：【典型題一】等比數(shù)列n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用變式2：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于(　　)A．80B.30C.20D.26解析：　∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)S4n＝30【鞏固訓(xùn)練】（）A180B108C75D63,()ABCD()A480B493C495D498()ABCD,第十講滿(mǎn)足型數(shù)列的通項(xiàng)公式求法例1：已知數(shù)列滿(mǎn)足，寫(xiě)出該數(shù)列的前5項(xiàng)，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由已知，，。。。。。。。，，以上各式相加得，則，上是對(duì)也成立，故。例2：對(duì)于數(shù)列，滿(mǎn)足，則解：由已知得，故，，。。。。，相加得，故，,上式對(duì)也成立，故例3：已知數(shù)列滿(mǎn)足，寫(xiě)出該數(shù)列的前四項(xiàng)，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由已知得，則由累加法得，得小結(jié)：當(dāng)滿(mǎn)足一定條件時(shí)，常用累加法來(lái)求通項(xiàng)，并要驗(yàn)證首項(xiàng)是否滿(mǎn)足此通項(xiàng)。練習(xí)：1.已知數(shù)列滿(mǎn)足，寫(xiě)出該數(shù)列的前5項(xiàng)，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。第十一講滿(mǎn)足型數(shù)列的通項(xiàng)公式求法例1：設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)。解：法一（累乘法）由已知，當(dāng)時(shí)，，…，，，以上各式子相乘，得，即，此式對(duì)也成立，故,小結(jié)：若，則當(dāng)法二（迭代法）由，得，即，此式對(duì)也成立，故變式1：（2006全國(guó)理）設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，求它的通項(xiàng)。解：由，得，且，故，即易得例2：已知數(shù)列滿(mǎn)足，求其通項(xiàng)公式。解：，兩式相減得，即，故，即，又，故，,當(dāng)時(shí)也成立，故小結(jié)：已知數(shù)列的遞推式滿(mǎn)足，則可以用累乘法（或迭代法）求通項(xiàng)公式。練習(xí)：1.已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，求。2（2014浙江理19）已知數(shù)列和滿(mǎn)足.若為等比數(shù)列，且⑴求與；⑵設(shè)。記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（i）求；（ii）求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有.,第十二講滿(mǎn)足型的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法例1：數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：法一(歸納法)猜想，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，（證明略）法二（構(gòu)造等比數(shù)列）由，得，即，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，從而，即.小結(jié)：由，,可化為，則是公比為的等比數(shù)列。法三（構(gòu)造等比數(shù)列）由，得，兩式相減得，且故數(shù)列是公比為3，首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，故，從而，即。小結(jié)：由，可化為，則是公比為的等比數(shù)列。法四（轉(zhuǎn)化為型）由，兩邊同除以，得，即利用累加（或迭代）法可得：當(dāng)時(shí)，，即，此式對(duì)也成立，故由，可化為，利用累加或迭代法求通項(xiàng)公式。法五（視覺(jué)轉(zhuǎn)化，看成數(shù)列的前項(xiàng)和）同解法四，由，,兩邊同除以，得，即記，則就是的前項(xiàng)和，且有利用裂項(xiàng)相消得例2：數(shù)列滿(mǎn)足，，求。解：法一：（歸納法）由已知得，，，，猜想，可用數(shù)學(xué)歸納法證明。法二：由，得，得，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)，故，得。法三：由………….……①得…………….②由②-①得：，得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項(xiàng)，得，即，故。,小結(jié)：由，可化為，則是公比為的等比數(shù)列?；蛘呋癁椋瑒t是公比為的等比數(shù)列。練習(xí)：1.若滿(mǎn)足關(guān)系式，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式。2.（2006福建理22）已知數(shù)列滿(mǎn)足，⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵若數(shù)列滿(mǎn)足，證明是等差數(shù)列；⑶證明3.（2014全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ）已知數(shù)列滿(mǎn)足，⑴證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；⑵證明：。第十三講滿(mǎn)足型的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法例1：數(shù)列滿(mǎn)足，，⑴求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；⑵求。,解：⑴，。由，得，，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)。故，例2：（2014安徽文18）數(shù)列滿(mǎn)足，⑴證明：數(shù)列是等差數(shù)列；⑵設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：⑴由已知得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為，故，即。⑵有⑴知，，可由錯(cuò)位相減法求和，（過(guò)程略）例3：數(shù)列滿(mǎn)足，求。解：法一：由已知得：則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，轉(zhuǎn)化為型，利用累加或迭代法求解。法二：由已知得：，令，可化為型求解,法三：由已知得：，數(shù)列是等比數(shù)列，公比是3，首項(xiàng)是例4：數(shù)列滿(mǎn)足，求。解：對(duì)已知式兩邊取對(duì)數(shù)得：，化簡(jiǎn)得，令，，，轉(zhuǎn)化為型求解。例5：數(shù)列滿(mǎn)足，求。解：由已知可得：，令，則轉(zhuǎn)化為型求解。,第十四講滿(mǎn)足型的數(shù)列的通項(xiàng)公式求法例1：（人教版A版《數(shù)學(xué)（必修5）》第二章復(fù)習(xí)參考題B組第6題）：已知數(shù)列中，，對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式？法1：（配湊法）由，得，而，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以，①又由，得，而，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，所以，②由①、②兩式消去，得，,法2：（待定系數(shù)法）由，設(shè)，其中是待定的常數(shù)，則，比較系數(shù)得，顯然是方程的兩根，即方程的兩根，由從而也得或下面與解法一相同，可得解法3：（特征根法）由，得特征方程為，解得，設(shè)，其中是待定的常數(shù)，把的值代入得從而小結(jié)：設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，求解：設(shè)，其中是待定的常數(shù)，則，比較系數(shù)得，,顯然是方程的兩根，即方程的兩根，當(dāng)時(shí)，設(shè)其實(shí)根為，從而有，得或，所以數(shù)列分別是公比為和的等比數(shù)列，故得，③與，④（?。┊?dāng)時(shí)，由③-④消去，可得，即，（注：若令，，則，。）（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由③式得：，上式兩邊同除以，得，數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故，得（注：若令，，則，。）小結(jié)：上述解題過(guò)程中得到的方程稱(chēng)為遞推方程,的特征方程，特征方程的根叫做特征根。設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，其特征方程為，設(shè)其兩根為。結(jié)論1：（構(gòu)造法）二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式均可通過(guò)構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列求得。構(gòu)造過(guò)程可采用配湊法、待定系數(shù)法。（?。┊?dāng)方程有兩個(gè)相異實(shí)根（）時(shí)，構(gòu)造兩個(gè)等比數(shù)列，它們的公比分別為，再利用方程思想解得通項(xiàng)。（ⅱ）當(dāng)方程有兩個(gè)相同實(shí)根（）時(shí)可以構(gòu)造出等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，結(jié)論2：（特征根法）（?。┊?dāng)方程有兩個(gè)相異實(shí)根（）時(shí)，，。（ⅱ）當(dāng)方程有兩個(gè)相同實(shí)根（）時(shí)，，；（ⅲ）當(dāng)方程有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根時(shí)，，。例2：（2008廣東理21題）：設(shè)、為實(shí)數(shù)，是方程,的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿(mǎn)足(1)證明：；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若，求的前項(xiàng)和解：（1）略。（2），由第（1）題知，特征方程，即的兩個(gè)實(shí)根為，（?。┊?dāng)時(shí)，設(shè)則，得（ⅱ）當(dāng)時(shí)，而，由第（1）題知，設(shè)，則，得（3）若，則特征方程是，得二重根，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，故,利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列前項(xiàng)和。類(lèi)型一：特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根例3（2009全國(guó)Ⅱ，理19題）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：由已知，得，兩式相減得：，可直接應(yīng)用特征根法就數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由已知，得，兩式相減得：，特征方程是，，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，故例4（2013安徽文19題）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，且對(duì)任意，函數(shù)。求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）略。解：，即,，顯然可以利用特征根法求解。又可變形為2，從而知數(shù)列是等差數(shù)列，由已知可得公差為1，且首項(xiàng)，所以注：當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足的數(shù)列是等差數(shù)列例5（2011全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽安徽賽區(qū)9題）已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得，即，特征方程是，，設(shè)，代入通項(xiàng)公式，得，故類(lèi)型二：特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根例6（2008廣東文21題）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列滿(mǎn)足是非零整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)和自然數(shù)，都有：，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）略。,解：特征方程是，，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，故例7（2010全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽河北賽區(qū)6題）從滿(mǎn)足的數(shù)列中，依次抽出能被3整除的項(xiàng)組成數(shù)列，則A.B.C.D.解：此數(shù)列是斐波那契數(shù)列，寫(xiě)出前幾項(xiàng)，歸納可知能被3整除，故選D.利用特征根法可求得斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式：特征方程是，，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，故例8（2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽河北賽區(qū)11題）已知數(shù)列滿(mǎn)足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）略。,解：特征方程是，，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，故例9（2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽安徽賽區(qū)12題）設(shè)數(shù)列數(shù)列滿(mǎn)足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）略。解：由，得從而，兩式相減，并整理得：，得，從而，令，得，且數(shù)列特征方程是，，設(shè)，.把代入通項(xiàng)公式，得，得，故。類(lèi)型三：特征方程有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根,例10（2013全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽安徽賽區(qū)4題）設(shè)數(shù)列數(shù)列滿(mǎn)足，則解：特征方程是，得兩根為，設(shè)，把代入通項(xiàng)公式，得，故,第十五講滿(mǎn)足的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法一、賽題呈現(xiàn)賽題：（2013年“希望杯”高二組二試）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿(mǎn)足：。(1)證明：存在一個(gè)等差數(shù)列，使得當(dāng)時(shí)，都成立。(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。分析：本題的實(shí)質(zhì)是：已知數(shù)列滿(mǎn)足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。其一般形式是，更一般的形式是。二、課本探源：（人教A版《數(shù)學(xué)（必修5）》第二章數(shù)列第一節(jié)）題源一：第31頁(yè)例3：設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。題源二：第34頁(yè)習(xí)題B組第3題：已知數(shù)列,的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由給出，（1）寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)（2）利用上面的數(shù)列，通過(guò)公式構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，試寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)題源三：第33頁(yè)習(xí)題A組第4題第（2）小題：設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。三、解法研究解：由已知得：（1）當(dāng)時(shí)，，故，即，，所以數(shù)列是等差數(shù)列。故命題成立。(2)方法1：利用第（1）的結(jié)論，先求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由求得。由已知及（1），得故的公差為，，當(dāng)時(shí)，，,又，故上式對(duì)也成立，故。方法2：利用從特殊到一般思想，采用歸納-猜想-證明的思路來(lái)解決。由，得歸納猜想：，（可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明過(guò)程略）。反思一：依第（1）的結(jié)論，能否先找到一個(gè)具體的等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式，再根據(jù)，求得呢？另外，由方法1和方法2的解答結(jié)果知，，變形后得，進(jìn)一步觀察、分析，對(duì)式子取倒數(shù)得，顯然數(shù)列等差數(shù)列，可令，就找到了一個(gè)等差數(shù)列。由此，我們得第三種方法，即構(gòu)造等差數(shù)列。方法3：構(gòu)造等差數(shù)列由，得，取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，即。,反思二：由方法3，我們構(gòu)造了一個(gè)等差數(shù)列，不但證明了（1）的正確性，而且也找到了求的一種方法，說(shuō)明數(shù)列滿(mǎn)足：時(shí)，可以通過(guò)構(gòu)造具體的等差數(shù)列求出通項(xiàng)公式。那么，把問(wèn)題一般化，對(duì)于數(shù)列滿(mǎn)足：，是否也存一個(gè)等差數(shù)列，使得當(dāng)時(shí)，都成立呢？如果存在，這個(gè)等差數(shù)列是誰(shuí)？四、問(wèn)題探究探究1：由，知，即是方程的根，也即的根，也即函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且方程恰好是遞推式的特征方程，方程可化為，有兩個(gè)相等的實(shí)根，發(fā)現(xiàn)我們構(gòu)造等差數(shù)列恰好是，這是巧合還是必然呢？論證：按此推理，對(duì)于數(shù)列，其特征方程為，化為，當(dāng)時(shí)，，,由，得取倒數(shù)得：，得，令，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。結(jié)論一：遞推數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為等差數(shù)列。探究2：我們?cè)賮?lái)思考當(dāng)時(shí)，是否有類(lèi)似結(jié)論呢？當(dāng)時(shí)，，，，即，方法一：上式兩邊取倒數(shù)，得，得令，可化為型來(lái)求解。方法二：由同理，兩式相除得,令，知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。結(jié)論二：遞推數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。探究3：我們?cè)賮?lái)思考當(dāng)時(shí)，是否還有類(lèi)似結(jié)論呢？當(dāng)時(shí)，特征方程有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根，，，即，同理，兩式相除得令，知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。此結(jié)論與相似。結(jié)論三：遞推數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。,（注：可以證明當(dāng)，把復(fù)數(shù)表示成三角形式，由三角函數(shù)的周期性可證數(shù)列是周期數(shù)列，證明略。）探究4：把遞推式，推廣到更一般的情形：會(huì)有什么結(jié)論呢？由特征方程化為，設(shè)其兩根為，則：因?yàn)?，所以，?lèi)比型通項(xiàng)公式的求法，易得求滿(mǎn)足型的數(shù)列通項(xiàng)公式的方法也是相同。結(jié)論四：設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，求其通項(xiàng)公式的轉(zhuǎn)化方法有如下兩種常見(jiàn)的途徑。特征方程，即，設(shè)其兩根為，則：方法一：換元轉(zhuǎn)化法令，或令可化為型來(lái)求解。方法二：構(gòu)造轉(zhuǎn)化法,（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等差數(shù)列，公差是。（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為。（3）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是周期數(shù)列，且數(shù)列是等比數(shù)列，公比為。且周期最小正后期為的沖要條件是。探究5：當(dāng)時(shí)，，由，得，整理得，此遞推數(shù)列的特征方程是，即，特征方程與數(shù)列相同，由此可得到一種求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法。結(jié)論五：數(shù)列滿(mǎn)足：，令，則有，即，利用結(jié)論一，求出，再由得到?？捎汕蟮?。,（注：滿(mǎn)足的數(shù)列通項(xiàng)公式的其他求法讀者可以參考其他資料）至此，我們發(fā)現(xiàn)滿(mǎn)足的數(shù)列，與滿(mǎn)足的數(shù)列是可以相互轉(zhuǎn)化的，求通項(xiàng)公式的方法是可以互相轉(zhuǎn)化借鑒的。五、知識(shí)應(yīng)用：類(lèi)型一：周期數(shù)列型例1（人教A版《數(shù)學(xué)（必修5）》第二章數(shù)列第一節(jié)，第33頁(yè)習(xí)題A組第4題）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足：，寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)。解：特征方程為，即，得，故數(shù)列是周期數(shù)列，，數(shù)列周期。例2（2012年“希望杯”高二組二試13）數(shù)列滿(mǎn)足，記數(shù)列前項(xiàng)的積為，則。解：特征方程為，即，得，故數(shù)列是周期數(shù)列，，數(shù)列周期，一個(gè)周期內(nèi)的四個(gè)數(shù)的乘積等于1，，故,練習(xí)：1.（2008年湖北省預(yù)賽試題）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，則2.（2008年黑龍江省預(yù)賽試題）給定數(shù)列，，且，則ABCD3.給定數(shù)列，，且，則的值是＿＿＿。類(lèi)型二：可化為等差數(shù)列型例3已知數(shù)列滿(mǎn)足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：特征方程為，即，得，由，得，，，數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，即。例4已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。,解：特征方程，得，則取倒數(shù)得：，，數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，即。例5已知函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。（1）求的值；（2）若正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，求。解：易得，，，特征方程，得，取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，即。類(lèi)型三：可構(gòu)造等比數(shù)列型例6（2009江西理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，，且對(duì)滿(mǎn)足的正整數(shù)都有：，,（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)公式；（2）略。解：令，得，把代入上式，整理得，特征方程為，得。則，上兩式相除得故數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。例7（2012全國(guó)卷大綱理22）函數(shù)，定義數(shù)列如下：是過(guò)兩點(diǎn)的直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（1）略；（2）由已知可，特征方程為，得。下面與例6解法相同，可得：數(shù)列是公比為5的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，,故，化簡(jiǎn)得，例8（2010全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽安徽省預(yù)選賽9）數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：特征方程為，得。則，上兩式相除得故數(shù)列是公比為-2的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。例9（2014年“希望杯”高二組一試）數(shù)列滿(mǎn)足：，，，。解：由已知得，特征方程，得，則，又上兩式相除，得，,故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。例10（2011年“華約”自主招生）已知函數(shù)，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：。解：易得，，，特征方程，得，下面與例9的解法相同，可得：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。說(shuō)明：對(duì)于型的遞推式，可以直接取倒數(shù)，化為，再轉(zhuǎn)化為型求解。例11（2005重慶文22）數(shù)列滿(mǎn)足，記，（1）求；（2）求的通項(xiàng)公式，及前項(xiàng)和。,分析：由已知得：，本題沒(méi)有要求我們求，而是通過(guò)構(gòu)造數(shù)列，求出，再由解決問(wèn)題。另外，由，也為我們提供了求的新方法，即作變換。下面我們只求。解：特征方程，得，方法1：由，取倒數(shù)得：，因?yàn)?，所以，轉(zhuǎn)化為型求解，易得，方法2：，取倒數(shù)得：，因?yàn)?，所以，也轉(zhuǎn)化為型求解，易得，方法3：,，，上兩式相除，得，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項(xiàng)是，所以，化簡(jiǎn)得。,第十六講利用數(shù)列公式求通項(xiàng)公式例1：已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：法一（消去，保留）,，兩式相減得：，即又，故數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列。故法二（消去，保留）由已知，及，得，即，故數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，有，故例2：.（2013廣東理19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，⑴求的值；⑵求的通項(xiàng)公式；⑶證明：對(duì)一切正整數(shù)，有。解：已知遞推式即⑴當(dāng)時(shí)，，即，故。⑵法一（消去，保留）當(dāng)時(shí)，由，得,，兩式相減得，得，即，又，故數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，有，即。法二（消去，保留）由已知，及，得即即故數(shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，即。當(dāng)時(shí)，又，滿(mǎn)足上式，故。例3：（2012廣東理19）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列。⑴求的值；⑵求的通項(xiàng)公式；⑶證明：對(duì)一切正整數(shù)，有。,解：⑴易得。⑵由，得，兩式相減得：，即，又也滿(mǎn)足，故法一：由，得數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，得，即，法二：兩邊同除以，得，得，數(shù)列是公比為，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，得，即，法三：兩邊同除以并移項(xiàng)，得，利用累加法得，，由也適合上式，故。,第十七講數(shù)列求和的基本方法一、錯(cuò)位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用近年來(lái)，高考中數(shù)列問(wèn)題正向多元化發(fā)展，命題中含有復(fù)合數(shù)列屢見(jiàn)不鮮.要想在高考中從容應(yīng)對(duì),就需熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí),同時(shí)要善于把非等差等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列來(lái)求解.現(xiàn)對(duì)數(shù)列求和的方法----錯(cuò)位相減法簡(jiǎn)要分析如下：一.利用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式.已知等比數(shù)列,它的前項(xiàng)和是,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,上式可寫(xiě)成①①的兩邊乘得②①的兩邊減去②的兩邊,得當(dāng)時(shí),等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式又因?yàn)樗陨厦婀娇蓪?xiě)成當(dāng)時(shí)，點(diǎn)評(píng)：通過(guò)將①式的左右兩邊同時(shí)乘以公比,使②式與①,式產(chǎn)生錯(cuò)位后相減得出.二、應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法.例1、求數(shù)列的前項(xiàng)和分析：數(shù)列成等差數(shù)列，數(shù)列成等比數(shù)列，此例用錯(cuò)位相減法可達(dá)到目的.同時(shí)應(yīng)注意和兩種情況.解：若，則若,則①①式兩邊同乘以，得②①減去②得所以點(diǎn)評(píng)：這個(gè)數(shù)列可以看成一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積，這種數(shù)列我們稱(chēng)為“混合數(shù)列”，解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法是：依照等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法——錯(cuò)位相減法，特別注意分和兩種情況討論.例2、設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且,,.⑴求,的通項(xiàng)公式.,⑵求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：⑴設(shè)的公差為，的公比為則依題意有>0且解得所以,,⑵,①②②減去①得==點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列，及求數(shù)列前項(xiàng)和的方法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力.第⑵問(wèn)就運(yùn)用了混合數(shù)列的求和方法----錯(cuò)位相減法.小結(jié)：（乘公比）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的乘積構(gòu)成，那么求此數(shù)列的前,項(xiàng)和時(shí)一般采用（乘公比）錯(cuò)位相減法，若公比是字母，需對(duì)其進(jìn)行討論。練習(xí)1設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿(mǎn)足，且。⑴求通項(xiàng)；⑵求數(shù)列的前項(xiàng)和。2：已知等差數(shù)列的公差為，恰為等比數(shù)列的前3項(xiàng)，且⑴求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；⑵令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.二、數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法在多年的教學(xué)實(shí)踐中經(jīng)常能遇到應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的題型，裂項(xiàng)相消法就是利用分解與組合的思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)相消法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)(一般是通項(xiàng))進(jìn)行分解，然后再重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的口的.特別適用于分式形式的通項(xiàng)公式，把一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)的差的形式，即利用，然后累加時(shí)抵消中間的許多項(xiàng)從而化繁為簡(jiǎn).從而解決數(shù)列求和的問(wèn)題，下面就從具體例子中來(lái)觀察裂項(xiàng)相消法的具體優(yōu)勢(shì)所在.等差數(shù)列積的倒數(shù)和已知等差數(shù)列解,+含二次根式的數(shù)列和已知正項(xiàng)等差數(shù)列解含三角函數(shù)的數(shù)列和求和：解,含排列組合種數(shù)求和（1）解(2)解在運(yùn)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注意細(xì)節(jié)和一些關(guān)鍵之處，特別注意裂項(xiàng)規(guī)律問(wèn)題，留下項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)以及裂項(xiàng)的實(shí)質(zhì)。形如的求和（）（1）解析一：發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特點(diǎn)是等差與等比相乘，則通法是錯(cuò)位相減法，但并不是唯一的方法，從教學(xué)反饋中可以看出，學(xué)生在使用錯(cuò)位相減法做題時(shí)，在運(yùn)算過(guò)程中容易出錯(cuò)，有沒(méi)有其他方法呢？解析二：,發(fā)現(xiàn)如能熟練掌握好裂項(xiàng)相消法的技巧，就可以化難為易，化繁為簡(jiǎn)，減少計(jì)算量，提高正確率.凡是等差與等比相乘的數(shù)列都可以利用這個(gè)思路，巧妙裂項(xiàng)而達(dá)到順利求和的目的.一般結(jié)論推導(dǎo)過(guò)程：6..形如的求和（）求：解析：反思：此題首先考慮分子與分母兩個(gè)因子之間的線性關(guān)系，這個(gè)關(guān)鍵的一步，然后再利用了分式的性質(zhì)恒等變形而達(dá)到了裂項(xiàng)的目的，可謂巧妙絕倫。,總結(jié)：利用裂項(xiàng)相消解題時(shí)，首先要善于觀察數(shù)列通項(xiàng)的基本特征，找到正確的解題方向，透過(guò)表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定思路；其次，要善于轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中說(shuō)過(guò)：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換，只要做到這兩點(diǎn)，我們?cè)诮忸}過(guò)程中，就可以體會(huì)到“山窮水路疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的解題效果。小結(jié)裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)之差后求和，正負(fù)項(xiàng)相消，剩下首尾若干項(xiàng)。使用此方法時(shí)必須搞清楚消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，一般未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)。練習(xí)1：求數(shù)列的前項(xiàng)和2：求和。3：已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且。⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵設(shè)，求適合方程的值。4：數(shù)列的前10項(xiàng)和為＿＿＿＿。5：（2013江西）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：。⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：對(duì)任意的，都有。6：已知公差不為0的等差數(shù)列滿(mǎn)足，，，成等比數(shù)列．,（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．7：數(shù)列滿(mǎn)足，，⑴設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍。8：已知數(shù)列滿(mǎn)足：，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則三、其他求和方法1.公式法：公式法是數(shù)列求和的最常用方法之一，可直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，也可利用常見(jiàn)的求前項(xiàng)和的公式，如：,2.并項(xiàng)求和法：在數(shù)列中有相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)的和是同一常數(shù)或有規(guī)律可循時(shí)，采用并項(xiàng)求和法較簡(jiǎn)便。例1：求和：例2：求和：例3：（2012新課標(biāo)全國(guó)）數(shù)列滿(mǎn)足，則的前60項(xiàng)和為＿＿＿＿。3.拆項(xiàng)（分組）求和法：有些數(shù)列，通過(guò)適當(dāng)拆項(xiàng)或分組后，可得到幾個(gè)等差或等比數(shù)列，這樣就可利用公式法進(jìn)一步求和了。例1：求數(shù)列的前項(xiàng)和。例2：數(shù)列的前項(xiàng)和為，則4.倒序相加法：當(dāng)把一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排序，與原數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加后有公因式可提，且余下的項(xiàng)容易求和，這時(shí)一般可用倒序相加法求其前項(xiàng)和。例1：設(shè)，求和：。例2：設(shè)，則。例3：設(shè)，則例4：設(shè)函數(shù)上兩點(diǎn)、，若=([來(lái)源:Zxxk.Com],+),且的橫坐標(biāo)為。（Ⅰ）求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（Ⅱ）若，求；（Ⅲ）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)一切第十八講數(shù)列型不等式的證明,數(shù)列型不等式問(wèn)題在近年逐漸成為高考熱點(diǎn)，數(shù)列型不等式問(wèn)題常被設(shè)置為高考?jí)狠S題，能力要求較高。因其仍然是不等式問(wèn)題，可用處理不等式的方法：基本不等式法；比較法；放縮法，函數(shù)單調(diào)性法等都是常用的方法；但數(shù)列型不等式與自然數(shù)有關(guān)，因而還有一種行之有效的方法：數(shù)學(xué)歸納法。重要不等式法若數(shù)列不等式形如下式，可用均值不等式法求證。（1）;（2）（3）比較法比較法是證明不等式的基本方法，可以作差比較也可以作商比較，是一種易于掌握的方法。放縮法常用的放縮結(jié)論：①、其中（）②③、用放縮法解題的途徑一般有兩條，一是先求和再放縮，二是先放縮再求和。（1）、先求和再放縮,一般先分析數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果此數(shù)列的前n項(xiàng)和能直接求和或通過(guò)變形后可以求和，則采用先求和再放縮的方法證明不等式。數(shù)列求和的方法較多，我們?cè)跀?shù)列求和的專(zhuān)題中有具體的講解，主要用的有公式法、裂項(xiàng)法、倒序相加法、分組求和法等方法。例1、已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿(mǎn)足，且，（1）當(dāng)時(shí)，求的表達(dá)式；（2）設(shè)，是其前項(xiàng)和，試證明.分析：不難求得，于是.對(duì)于，這是一個(gè)“差比”數(shù)列的和，可以用錯(cuò)位相減法求出，然后再與比較大小.于是有：①，②，兩式相減得：，化簡(jiǎn)得，顯然有.（2）、先放縮再求和高考數(shù)列不等式證明一般用此法的較多，對(duì)此法往往又有以下幾個(gè)具體情況。①、將數(shù)列的通項(xiàng)進(jìn)行去項(xiàng)或添項(xiàng)的適當(dāng)放縮，使之成為我們所熟悉的等差、等比或差比數(shù)列進(jìn)而進(jìn)行求和證明；②,、對(duì)通項(xiàng)式進(jìn)行裂項(xiàng)處理，并對(duì)其中某些項(xiàng)的分母進(jìn)行適當(dāng)放縮，構(gòu)成便于加減相消的結(jié)構(gòu)或變形出能使用重要不等式法的結(jié)構(gòu)，使題目便于證明。③、以某一不等關(guān)系為依據(jù)建立起相鄰兩項(xiàng)的不等關(guān)系進(jìn)行逐層遞推放縮，以尋求各項(xiàng)與首項(xiàng)的不等關(guān)系。④、利用二項(xiàng)式定理將通項(xiàng)展開(kāi)后進(jìn)行適度放縮，有時(shí)展開(kāi)后只需保留其中一部分就可達(dá)到放縮的目的。⑤、先分組在放縮比較例2、（2002全國(guó)卷）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，（1）當(dāng)時(shí)，求，并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)所有的，有（Ⅰ）；（Ⅱ）.分析：（1）略.對(duì)于（2）中的（Ⅱ），由及（Ⅰ）中的可知，從而，，于是.說(shuō)明：對(duì)于一些復(fù)雜的數(shù)列不等式，考慮將每一項(xiàng)進(jìn)行確當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小是一種常見(jiàn)的方法，而方法的尋找要結(jié)合題設(shè)條件和要證的結(jié)論，看它們的內(nèi)在關(guān)系，考慮將通項(xiàng)朝什么方向進(jìn)行放縮。請(qǐng)你思考一下，直接由得，能證明這個(gè)問(wèn)題嗎？,例3、（2004全國(guó)卷改編）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足：，（1）寫(xiě)出數(shù)列的前三項(xiàng)，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明對(duì)任意的整數(shù)，有.分析：（1），過(guò)程略.對(duì)于（2），顯然.當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述對(duì)任意的整數(shù)，有成立.說(shuō)明：通過(guò)計(jì)算比較可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的通項(xiàng)規(guī)律較復(fù)雜，用求和的方法計(jì)算難度很大，這時(shí)可以通過(guò)兩個(gè)方面來(lái)尋找解題方向，一是看通項(xiàng)的特點(diǎn)，二是從特殊入手，例如取等進(jìn)行比對(duì)發(fā)現(xiàn).此外發(fā)現(xiàn)數(shù)值也是很重要的一點(diǎn).,數(shù)學(xué)歸納法例4、設(shè)數(shù)列{}滿(mǎn)足證明對(duì)所有的，有:（i）;（ii）分析:（Ⅰ）由數(shù)學(xué)歸納法知，，，……2分對(duì)，有，。對(duì)所有的，有，函數(shù)單調(diào)性法例5、證明：設(shè)，求證：證明：求導(dǎo)數(shù)可證ln(x+1)≤x,