高中數(shù)學(xué)高考沖刺數(shù)列題真題講解第一講判斷或證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法等差數(shù)列是高中所學(xué)數(shù)列中的兩個基本數(shù)列之一，正確判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列是研究等差數(shù)列的重要前提，根據(jù)高中知識特點，我們有如下幾種常用的判斷方法：1．定義法：（常數(shù)）（）是等差數(shù)列。（做解答題常用此法）2．遞推法（等差中項法）：（）是等差數(shù)列。（做解答題常用此法）3．性質(zhì)法：利用性質(zhì)來判斷。4．通項法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列。（做選擇題或填空題常用此法）5．求和法：（為常數(shù)，為的前項的和）是等差數(shù)列。（做選擇題或填空題常用此法）6.數(shù)學(xué)歸納法（常用于解答題）例１　已知數(shù)列{}滿足下列條件，判斷數(shù)列{}是否為等差數(shù)列？若是等差數(shù)列，請指出公差是多少？(１)＝n+1(2)=(3)=n,(4)=+n(5)=解：（１）是等差數(shù)列，公差為１。（2）不是等差數(shù)列?！。ǎ常┦堑炔顢?shù)列，公差為０。（4）是等差數(shù)列，公差為2。（5）不是等差數(shù)列。例2已知數(shù)列的前項和為，且滿足，。⑴求證：是等差數(shù)列；⑵求的表達(dá)式；⑶若，求證：解：⑴由，得，兩邊同除以，得，即，是等差數(shù)列，公差是2，首項為。例3已知，，成等差數(shù)列，則，，是否也成等差數(shù)列？并說明你的理由。解：方法一：∵，，成等差數(shù)列，∴，即,∴∴，，也是等差數(shù)列。方法二：∵，，成等差數(shù)列，∴，即∴，，也是等差數(shù)列。方法三：∵，，成等差數(shù)列，∴，，也成等差數(shù)列，即，，也是等差數(shù)列，故，，也是等差數(shù)列。例4：設(shè)數(shù)列中，，且（），證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求。解：由已知，去分母得，,，兩邊同除以，得，∴是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列，故（）。經(jīng)驗證時也成立，所以（）。例5：設(shè)數(shù)列的前項和為，滿足，且。⑴求的值；⑵求數(shù)列的通項公式。解：，，又，，，又，，，綜上知，，；（２）由（１）猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；②假設(shè)當(dāng)（）時，，則，又，，解得，，即當(dāng)時，結(jié)論成立；由①②知，．,第二講等差數(shù)列通項之比與前項和之比方法規(guī)律：解決已知等差數(shù)列的前項和之比，求項之比這樣的問題，最簡便的一種方法就是將項之比轉(zhuǎn)化為和之比，轉(zhuǎn)化的途徑就是將式子變成前項和的形式；當(dāng)然靈活應(yīng)用等差數(shù)列的前項和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)是解決此類問題的基本思路。例1兩個等差數(shù)列的前項之和分別為，滿足對任意的都有成立，求。法一：，，，，同理，故法二：小結(jié)：法三：等差數(shù)列的前項和，其中是常數(shù),可設(shè)，則，小結(jié)：數(shù)列是等差數(shù)列，首項，公差，前項和，,變式1：兩個等差數(shù)列的前項之和分別為，滿足對任意的都有成立，求。解：等差數(shù)列的前項和，其中是常數(shù),可設(shè)，則，小結(jié)：由，求，方法二和方法三是通法。求，設(shè)，方法三是通法。變式2(2014全國數(shù)學(xué)競賽陜西省預(yù)賽一試試題)已知兩個等差數(shù)列的前項之和分別為，滿足對任意的都成立，則。解：等差數(shù)列的通項公式可設(shè)為,其中是常數(shù)，故設(shè)，其中是常數(shù)，則，，故。小結(jié)：數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列的通項公式為,其中是常數(shù)數(shù)列的前項和，其中是常數(shù),練習(xí)：1.等差數(shù)列的前項之和分別為，都有,，求。2.等差數(shù)列的前項之和分別為，都有，求。3.兩個等差數(shù)列的前項之和分別為，滿足對任意的都，求。4.（2013年“希望杯”數(shù)學(xué)競賽試題）兩個等差數(shù)列的前項之和分別為，滿足對任意的都，求。第三講等差數(shù)列前項和的性質(zhì)例1等差數(shù)列的前項和為，滿足求。法一：基本量法，求首項，公差由已知得則法二：由已知得則，故法三：設(shè)，其中是常數(shù),,則，故，則法四：利用，數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)，則，，公差為，通項為，故，則法五：同法四，先求得，則由，得，即，故。法六：由，得則法七：由等差數(shù)列性質(zhì)得：數(shù)列是等差數(shù)列，即：三數(shù)，成等差數(shù)列，公差是600，故，。小結(jié)：由等差數(shù)列性質(zhì)得：數(shù)列是等差數(shù)列。變式1：等差數(shù)列的前項和為，滿足,求。分析：方法一至方法四均可解，是通法。下面用性質(zhì)求解。解：由等差數(shù)列性質(zhì)得：數(shù)列是等差數(shù)列，即數(shù)列：設(shè)，公差為，則，得，公差，。變式2：等差數(shù)列的前項和為，滿足求。分析：方法一至方法四均可解。練習(xí)：1.等差數(shù)列的前項和為，滿足求。2.等差數(shù)列的前項和為，若，則等于（）。3.等差數(shù)列的前項和為，若則等于（）。4.等差數(shù)列中，，則。,第四講等差數(shù)列與數(shù)列前項和例1：已知等差數(shù)列中，，求數(shù)列的前項和。解：設(shè)，因則，得，，，從而，當(dāng)時，，當(dāng)時，綜上：。小結(jié)：此類題的關(guān)鍵是找到通項中哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)，采用分類討論，然后轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或部分等差數(shù)列求和，變式1：已知等差數(shù)列中，，求數(shù)列的前項和。解：容易得，，，，,當(dāng)時，，當(dāng)時，綜上：。小結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是找到數(shù)列的征服分界點。通常有四種情形：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，；③當(dāng)時時，，，④當(dāng)時時，，。練習(xí)：1.已知等差數(shù)列中，，求數(shù)列的前項和。2.已知等差數(shù)列中，，求數(shù)列。3.（2013浙江）已知公差為的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列。,⑴求,;⑵若，求。4.已知數(shù)列，滿足，且成等比數(shù)列，，求數(shù)列的前項和。,第五講等差數(shù)列前項和的最值例1：在等差數(shù)列中，，，求的最大值。解：由，得，法一：，有二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，有最大值169。法二：，，由，得，故當(dāng)時，有最大值，。法三：由等差數(shù)列性質(zhì)知，對稱軸為，故當(dāng)時，有最大值，。法四：，，又，故，故當(dāng)時，有最大值，。變式1：在等差數(shù)列中，，，⑴求，⑵求前項和的最小值，并指出為何值時取最小值。解：容易求得，，。法一：由，得，又故當(dāng)，有最小值,法二：，，故當(dāng)，有最小值說明：當(dāng)通項中有0時，存在兩個取到最值。小結(jié)：此類問題的關(guān)鍵是找到通項中哪些是正數(shù)，哪些是負(fù)數(shù)。①當(dāng)時，無最大值，有最小值；②當(dāng)時，無最小值，有最大值；③當(dāng)時時，有最大值，無最小值。④當(dāng)時時，有最小值，無最大值練習(xí)：1.（浙江）設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前項和，則下列命題錯誤的是（）A.若，則數(shù)列有最大項；B.若數(shù)列有最大項，則；C.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均勻；D.若對任意，均有，則數(shù)列是遞增數(shù)列。2.（福建）等差數(shù)列的前項和為，，，則當(dāng)?shù)娜∽钚≈禃r，等于（）。3.等差數(shù)列前項和為，，，⑴求公差的取值范圍；⑵中哪個最大值。4.在等差數(shù)列中，，，求當(dāng)取何值時,有最小值。5（2014北京理12）若等差數(shù)列滿足，則當(dāng)時，的前項和最大。第六講判斷與證明等比數(shù)列的方法　掌握判定等比數(shù)列的方法,目的是深刻理解等比數(shù)列的基本概念,熟練應(yīng)用有關(guān)知識,為解等比數(shù)列綜合題奠定良好的基礎(chǔ).具體判定方法如下:一、定義法(又叫遞推公式法)如果一個數(shù)列{an}滿足(為不為零的,常數(shù)),則這個數(shù)列叫做等比數(shù)列.由此定義可判定為等比數(shù)列二、看通項與前n項和法（1）通項法：我們知道,等比數(shù)列的通項公式為(的常數(shù)),反之如果數(shù)列的通項公式為(的常數(shù)且≠0),則數(shù)列是等比數(shù)列.這樣數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是(的常數(shù))且≠0.所以用通項公式也可是判定等比數(shù)列.（2）前n項和公式法：若數(shù)列的前n項和Sn能表示成(均為不等于0的常數(shù)且q≠1)的形式，則數(shù)列,是公比不為1的等比數(shù)列．這些結(jié)論用在選擇填空題上可大大節(jié)約時間． 例3若等比數(shù)列解析：用到上述方法，可得a=-1,大大節(jié)約了時間，同時大大提高了命中率．三、等比中項法3個非零的實數(shù)a,A,b,滿足=ab,則a,A,b成等比數(shù)列,A叫做a,b的等比中項.可利用它來判定等比數(shù)列.四、運用數(shù)學(xué)歸納法這種方法關(guān)鍵在于猜想要正確，用數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟要熟練，從“時命題成立”到“時命題成立”要會過渡．,例5(2004全國高考題)數(shù)列的前項和記為，已知，．證明：數(shù)列是等比數(shù)列．證明：由，，知，，猜測是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：令.(1)當(dāng)時，，成立．(2)當(dāng)時，，成立．假設(shè)時命題成立，即．那么當(dāng)時，，命題成立．綜上知是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．評析：例5是常規(guī)的猜想證明題，考查學(xué)生掌握猜想證明題的基本技能、掌握數(shù)列前項和這個概念、用數(shù)學(xué)歸納法證明等比數(shù)列的方法五、反證法解決數(shù)學(xué)問題的思維過程，一般總是從正面入手，即從已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列的推理和運算，最后得到所要求的結(jié)論，但有時會遇到從正面不易入手的情況，這時可從反面去考慮．如：例6（2000年全國高考（理））設(shè)是公比不相等的兩等比數(shù)列，．證明數(shù)列不是等比數(shù)列．,證明：設(shè)的公比分別為，，，為證不是等比數(shù)列只需證．事實上，，又不為零，，故不是等比數(shù)列．評析：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)、推理和運算能力，對邏輯思維能力有較高要求．要證不是等比數(shù)列，只要由特殊項（如）就可否定．一般地講，否定性的命題常用反證法證明，其思路充分說明特殊化的思想方法與正難則反的思維策略的重要性．以上五種證明方法的選用,應(yīng)因題而異.只要在平時的練習(xí)中不斷總結(jié),就能提高我們分析能力和解決問題的能力.第七講等比數(shù)列通項的性質(zhì)及應(yīng)用一．知識整理1.等比數(shù)列的定義：,一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：2.等比數(shù)列的通項公式通項公式為3.等比數(shù)列的通項公式推廣：4．等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)(1)在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am·an＝ap·aq＝a.特別地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝….(2)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比數(shù)列，公比為qk；一、等比數(shù)列通項的性質(zhì)及應(yīng)用1.在等比數(shù)列中，若，則.【解答】.2.等比數(shù)列中，，，則　．【解答】2403.｛｝是公比為2的等比數(shù)列，且=，則等于．【解答】4004.等比數(shù)列中，，則=變式1等比數(shù)列，變式2已知等比數(shù)列各項為正數(shù)，且3是,=__________________5.在等差數(shù)列中，若，則有等式成立。類比上列性質(zhì)，相應(yīng)的：在等比數(shù)列中，若，則有等式_______________成立。【解答】6.已知，各項為正的等差數(shù)列滿足，又?jǐn)?shù)列的前項和是．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求證數(shù)列是等比數(shù)列；（3）設(shè)，試問數(shù)列有沒有最大項？如果有，求出這個最大項，如果沒有，說明理由?！窘獯稹浚?），又或若，則，與矛盾；若，則，顯然，（2），當(dāng)時，，歐時，，,數(shù)列是以9為首項，為公比的等比數(shù)列．（3），設(shè)是數(shù)列中的最大項，則由可得，數(shù)列有最大項，最大項是．第八講等比數(shù)列中奇數(shù)項與偶數(shù)項問題等比數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)(1)項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：等比數(shù)列{an}中，公比為q.①若共有2n項，則S偶∶S奇＝q；②若共有2n＋1項，則S奇－S偶＝(q≠1且q≠－1)．例1已知等比數(shù)列的首項為1，項數(shù)為偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求這個數(shù)列的公比與項數(shù)由題目可獲取以下主要信息：①等比數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別依次構(gòu)成等比數(shù)列；②當(dāng)項數(shù)為2n時，S偶∶S奇＝q.解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出項數(shù)與公比，然后建立方程組求解．[解題過程]　設(shè)此等比數(shù)列共2n項，公比為q.,由于S奇≠S偶，∴q≠1.由于奇數(shù)項依次組成以a1為首項，以q2為公比的等比數(shù)列，故所有奇數(shù)項之和為S奇＝＝85①同理可得所有偶數(shù)項之和為S偶＝＝170②②÷①，得q＝2，代入①得22n＝256，解得2n＝8，所以這個數(shù)列共8項，公比為2.變式1：等比數(shù)列共2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，求該數(shù)列的公比q.解析：　由題意知S奇＝S偶＋80，則S2n＝S偶＋S奇＝2S偶＋80＝－240，∴S偶＝－160，則S奇＝－80，∴q＝＝＝2.例2奇數(shù)項與偶數(shù)項分段的類型數(shù)列{an}的首項a1＝1，且對任意n∈N，an與an＋1恰為方程x2－bnx＋2n＝0的兩個根.(Ⅰ)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式；(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解：(Ⅰ)由題意n∈N*，an·an＋1＝2n∴＝＝＝2'(1分)又∵a1·a2＝2'a1＝1'a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前項為a1＝1公比為2的等比數(shù)列，a2，a4，…，a2n是前項為a2＝2公比為2的等比數(shù)列　∴a2n－1＝2n－1'a2n＝2n'n∈N*　,即an＝又∵bn＝an＋an＋1當(dāng)n為奇數(shù)時，bn＝2＋2＝3·2當(dāng)n為偶數(shù)時，bn＝2＋2＝2·2∴bn＝(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝＋＝7·2－7　(當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10·2－7　(Sn＝變式：數(shù)列的通項，其前n項和為.(1)求;(2)求數(shù)列｛｝的前n項和.解:(1)由于,故,,故()(2)兩式相減得故第九講等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用間隔相等、連續(xù)等長的片段和也成等比數(shù)列即：成等比數(shù)列。,注：當(dāng)且n為偶數(shù)時，不是等比數(shù)列。③“相關(guān)和”性質(zhì)：【典型題一】等比數(shù)列n項和性質(zhì)的應(yīng)用變式2：各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝2，S3n＝14，則S4n等于(　　)A．80B.30C.20D.26解析：　∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比數(shù)列∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n)∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)S4n＝30【鞏固訓(xùn)練】（）A180B108C75D63,()ABCD()A480B493C495D498()ABCD,第十講滿足型數(shù)列的通項公式求法例1：已知數(shù)列滿足，寫出該數(shù)列的前5項，并求數(shù)列的通項公式。解：由已知，，。。。。。。。，，以上各式相加得，則，上是對也成立，故。例2：對于數(shù)列，滿足，則解：由已知得，故，，。。。。，相加得，故，,上式對也成立，故例3：已知數(shù)列滿足，寫出該數(shù)列的前四項，并求數(shù)列的通項公式。解：由已知得，則由累加法得，得小結(jié)：當(dāng)滿足一定條件時，常用累加法來求通項，并要驗證首項是否滿足此通項。練習(xí)：1.已知數(shù)列滿足，寫出該數(shù)列的前5項，并求數(shù)列的通項公式。2.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。第十一講滿足型數(shù)列的通項公式求法例1：設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，求它的通項。解：法一（累乘法）由已知，當(dāng)時，，…，，，以上各式子相乘，得，即，此式對也成立，故,小結(jié)：若，則當(dāng)法二（迭代法）由，得，即，此式對也成立，故變式1：（2006全國理）設(shè)是首項為1的正項數(shù)列，且，求它的通項。解：由，得，且，故，即易得例2：已知數(shù)列滿足，求其通項公式。解：，兩式相減得，即，故，即，又，故，,當(dāng)時也成立，故小結(jié)：已知數(shù)列的遞推式滿足，則可以用累乘法（或迭代法）求通項公式。練習(xí)：1.已知數(shù)列滿足，且，求。2（2014浙江理19）已知數(shù)列和滿足.若為等比數(shù)列，且⑴求與；⑵設(shè)。記數(shù)列的前項和為.（i）求；（ii）求正整數(shù)，使得對任意，均有.,第十二講滿足型的數(shù)列的通項公式的求法例1：數(shù)列滿足，，求。解：法一(歸納法)猜想，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，（證明略）法二（構(gòu)造等比數(shù)列）由，得，即，故數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，從而，即.小結(jié)：由，,可化為，則是公比為的等比數(shù)列。法三（構(gòu)造等比數(shù)列）由，得，兩式相減得，且故數(shù)列是公比為3，首項為3的等比數(shù)列，故，從而，即。小結(jié)：由，可化為，則是公比為的等比數(shù)列。法四（轉(zhuǎn)化為型）由，兩邊同除以，得，即利用累加（或迭代）法可得：當(dāng)時，，即，此式對也成立，故由，可化為，利用累加或迭代法求通項公式。法五（視覺轉(zhuǎn)化，看成數(shù)列的前項和）同解法四，由，,兩邊同除以，得，即記，則就是的前項和，且有利用裂項相消得例2：數(shù)列滿足，，求。解：法一：（歸納法）由已知得，，，，猜想，可用數(shù)學(xué)歸納法證明。法二：由，得，得，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項，故，得。法三：由………….……①得…………….②由②-①得：，得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項，得，即，故。,小結(jié)：由，可化為，則是公比為的等比數(shù)列?；蛘呋癁椋瑒t是公比為的等比數(shù)列。練習(xí)：1.若滿足關(guān)系式，，則數(shù)列的通項公式。2.（2006福建理22）已知數(shù)列滿足，⑴求數(shù)列的通項公式；⑵若數(shù)列滿足，證明是等差數(shù)列；⑶證明3.（2014全國新課標(biāo)Ⅱ）已知數(shù)列滿足，⑴證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；⑵證明：。第十三講滿足型的數(shù)列的通項公式的求法例1：數(shù)列滿足，，⑴求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；⑵求。,解：⑴，。由，得，，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項。故，例2：（2014安徽文18）數(shù)列滿足，⑴證明：數(shù)列是等差數(shù)列；⑵設(shè)，求數(shù)列的前項和。解：⑴由已知得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項為，故，即。⑵有⑴知，，可由錯位相減法求和，（過程略）例3：數(shù)列滿足，求。解：法一：由已知得：則數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，轉(zhuǎn)化為型，利用累加或迭代法求解。法二：由已知得：，令，可化為型求解,法三：由已知得：，數(shù)列是等比數(shù)列，公比是3，首項是例4：數(shù)列滿足，求。解：對已知式兩邊取對數(shù)得：，化簡得，令，，，轉(zhuǎn)化為型求解。例5：數(shù)列滿足，求。解：由已知可得：，令，則轉(zhuǎn)化為型求解。,第十四講滿足型的數(shù)列的通項公式求法例1：（人教版A版《數(shù)學(xué)（必修5）》第二章復(fù)習(xí)參考題B組第6題）：已知數(shù)列中，，對于這個數(shù)列的通項公式作一研究，能否寫出它的通項公式？法1：（配湊法）由，得，而，故數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，所以，①又由，得，而，故數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，所以，②由①、②兩式消去，得，,法2：（待定系數(shù)法）由，設(shè)，其中是待定的常數(shù)，則，比較系數(shù)得，顯然是方程的兩根，即方程的兩根，由從而也得或下面與解法一相同，可得解法3：（特征根法）由，得特征方程為，解得，設(shè)，其中是待定的常數(shù)，把的值代入得從而小結(jié)：設(shè)數(shù)列滿足：，求解：設(shè)，其中是待定的常數(shù)，則，比較系數(shù)得，,顯然是方程的兩根，即方程的兩根，當(dāng)時，設(shè)其實根為，從而有，得或，所以數(shù)列分別是公比為和的等比數(shù)列，故得，③與，④（?。┊?dāng)時，由③-④消去，可得，即，（注：若令，，則，。）（ⅱ）當(dāng)時，由③式得：，上式兩邊同除以，得，數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列，故，得（注：若令，，則，。）小結(jié)：上述解題過程中得到的方程稱為遞推方程,的特征方程，特征方程的根叫做特征根。設(shè)數(shù)列滿足：，其特征方程為，設(shè)其兩根為。結(jié)論1：（構(gòu)造法）二階線性遞推數(shù)列的通項公式均可通過構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列求得。構(gòu)造過程可采用配湊法、待定系數(shù)法。（?。┊?dāng)方程有兩個相異實根（）時，構(gòu)造兩個等比數(shù)列，它們的公比分別為，再利用方程思想解得通項。（ⅱ）當(dāng)方程有兩個相同實根（）時可以構(gòu)造出等差數(shù)列，其公差為，首項為的等差數(shù)列，結(jié)論2：（特征根法）（?。┊?dāng)方程有兩個相異實根（）時，，。（ⅱ）當(dāng)方程有兩個相同實根（）時，，；（ⅲ）當(dāng)方程有兩個共軛復(fù)數(shù)根時，，。例2：（2008廣東理21題）：設(shè)、為實數(shù)，是方程,的兩個實根，數(shù)列滿足(1)證明：；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)若，求的前項和解：（1）略。（2），由第（1）題知，特征方程，即的兩個實根為，（?。┊?dāng)時，設(shè)則，得（ⅱ）當(dāng)時，而，由第（1）題知，設(shè)，則，得（3）若，則特征方程是，得二重根，設(shè)，.把代入通項公式，得，故,利用錯位相減法可得數(shù)列前項和。類型一：特征方程有兩個相等實根例3（2009全國Ⅱ，理19題）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知.（1）設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式。分析：由已知，得，兩式相減得：，可直接應(yīng)用特征根法就數(shù)列的通項公式。解：由已知，得，兩式相減得：，特征方程是，，設(shè)，.把代入通項公式，得，故例4（2013安徽文19題）設(shè)數(shù)列滿足，且對任意，函數(shù)。求數(shù)列的通項公式；（2）略。解：，即,，顯然可以利用特征根法求解。又可變形為2，從而知數(shù)列是等差數(shù)列，由已知可得公差為1，且首項，所以注：當(dāng)時，滿足的數(shù)列是等差數(shù)列例5（2011全國高中數(shù)學(xué)競賽安徽賽區(qū)9題）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得，即，特征方程是，，設(shè)，代入通項公式，得，故類型二：特征方程有兩個相異實根例6（2008廣東文21題）設(shè)數(shù)列滿足，數(shù)列滿足是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)和自然數(shù)，都有：，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）略。,解：特征方程是，，設(shè)，.把代入通項公式，得，故例7（2010全國高中數(shù)學(xué)競賽河北賽區(qū)6題）從滿足的數(shù)列中，依次抽出能被3整除的項組成數(shù)列，則A.B.C.D.解：此數(shù)列是斐波那契數(shù)列，寫出前幾項，歸納可知能被3整除，故選D.利用特征根法可求得斐波那契數(shù)列的通項公式：特征方程是，，設(shè)，.把代入通項公式，得，故例8（2013全國高中數(shù)學(xué)競賽河北賽區(qū)11題）已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）略。,解：特征方程是，，設(shè)，.把代入通項公式，得，故例9（2013全國高中數(shù)學(xué)競賽安徽賽區(qū)12題）設(shè)數(shù)列數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）略。解：由，得從而，兩式相減，并整理得：，得，從而，令，得，且數(shù)列特征方程是，，設(shè)，.把代入通項公式，得，得，故。類型三：特征方程有兩個共軛復(fù)數(shù)根,例10（2013全國高中數(shù)學(xué)競賽安徽賽區(qū)4題）設(shè)數(shù)列數(shù)列滿足，則解：特征方程是，得兩根為，設(shè)，把代入通項公式，得，故,第十五講滿足的數(shù)列的通項公式的求法一、賽題呈現(xiàn)賽題：（2013年“希望杯”高二組二試）設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足：。(1)證明：存在一個等差數(shù)列，使得當(dāng)時，都成立。(2)求數(shù)列的通項公式。分析：本題的實質(zhì)是：已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式。其一般形式是，更一般的形式是。二、課本探源：（人教A版《數(shù)學(xué)（必修5）》第二章數(shù)列第一節(jié)）題源一：第31頁例3：設(shè)數(shù)列滿足：，寫出這個數(shù)列的前5項。題源二：第34頁習(xí)題B組第3題：已知數(shù)列,的第1項是1，第2項是2，以后各項由給出，（1）寫出這個數(shù)列的前5項（2）利用上面的數(shù)列，通過公式構(gòu)造一個新的數(shù)列，試寫出數(shù)列的前5項題源三：第33頁習(xí)題A組第4題第（2）小題：設(shè)數(shù)列滿足：，寫出這個數(shù)列的前5項。三、解法研究解：由已知得：（1）當(dāng)時，，故，即，，所以數(shù)列是等差數(shù)列。故命題成立。(2)方法1：利用第（1）的結(jié)論，先求等差數(shù)列的通項公式，再由求得。由已知及（1），得故的公差為，，當(dāng)時，，,又，故上式對也成立，故。方法2：利用從特殊到一般思想，采用歸納-猜想-證明的思路來解決。由，得歸納猜想：，（可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，證明過程略）。反思一：依第（1）的結(jié)論，能否先找到一個具體的等差數(shù)列，并求出的通項公式，再根據(jù)，求得呢？另外，由方法1和方法2的解答結(jié)果知，，變形后得，進一步觀察、分析，對式子取倒數(shù)得，顯然數(shù)列等差數(shù)列，可令，就找到了一個等差數(shù)列。由此，我們得第三種方法，即構(gòu)造等差數(shù)列。方法3：構(gòu)造等差數(shù)列由，得，取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是公差為1，首項為的等差數(shù)列，所以，即。,反思二：由方法3，我們構(gòu)造了一個等差數(shù)列，不但證明了（1）的正確性，而且也找到了求的一種方法，說明數(shù)列滿足：時，可以通過構(gòu)造具體的等差數(shù)列求出通項公式。那么，把問題一般化，對于數(shù)列滿足：，是否也存一個等差數(shù)列，使得當(dāng)時，都成立呢？如果存在，這個等差數(shù)列是誰？四、問題探究探究1：由，知，即是方程的根，也即的根，也即函數(shù)的不動點，且方程恰好是遞推式的特征方程，方程可化為，有兩個相等的實根，發(fā)現(xiàn)我們構(gòu)造等差數(shù)列恰好是，這是巧合還是必然呢？論證：按此推理，對于數(shù)列，其特征方程為，化為，當(dāng)時，，,由，得取倒數(shù)得：，得，令，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。結(jié)論一：遞推數(shù)列滿足，當(dāng)時，數(shù)列是公差為等差數(shù)列。探究2：我們再來思考當(dāng)時，是否有類似結(jié)論呢？當(dāng)時，，，，即，方法一：上式兩邊取倒數(shù)，得，得令，可化為型來求解。方法二：由同理，兩式相除得,令，知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。結(jié)論二：遞推數(shù)列滿足，當(dāng)時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。探究3：我們再來思考當(dāng)時，是否還有類似結(jié)論呢？當(dāng)時，特征方程有一對共軛復(fù)數(shù)根，，，即，同理，兩式相除得令，知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。此結(jié)論與相似。結(jié)論三：遞推數(shù)列滿足，當(dāng)時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列。,（注：可以證明當(dāng)，把復(fù)數(shù)表示成三角形式，由三角函數(shù)的周期性可證數(shù)列是周期數(shù)列，證明略。）探究4：把遞推式，推廣到更一般的情形：會有什么結(jié)論呢？由特征方程化為，設(shè)其兩根為，則：因為，所以，類比型通項公式的求法，易得求滿足型的數(shù)列通項公式的方法也是相同。結(jié)論四：設(shè)數(shù)列滿足，求其通項公式的轉(zhuǎn)化方法有如下兩種常見的途徑。特征方程，即，設(shè)其兩根為，則：方法一：換元轉(zhuǎn)化法令，或令可化為型來求解。方法二：構(gòu)造轉(zhuǎn)化法,（1）當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列，公差是。（2）當(dāng)時，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為。（3）當(dāng)時，數(shù)列是周期數(shù)列，且數(shù)列是等比數(shù)列，公比為。且周期最小正后期為的沖要條件是。探究5：當(dāng)時，，由，得，整理得，此遞推數(shù)列的特征方程是，即，特征方程與數(shù)列相同，由此可得到一種求數(shù)列的通項公式的方法。結(jié)論五：數(shù)列滿足：，令，則有，即，利用結(jié)論一，求出，再由得到?？捎汕蟮?。,（注：滿足的數(shù)列通項公式的其他求法讀者可以參考其他資料）至此，我們發(fā)現(xiàn)滿足的數(shù)列，與滿足的數(shù)列是可以相互轉(zhuǎn)化的，求通項公式的方法是可以互相轉(zhuǎn)化借鑒的。五、知識應(yīng)用：類型一：周期數(shù)列型例1（人教A版《數(shù)學(xué)（必修5）》第二章數(shù)列第一節(jié)，第33頁習(xí)題A組第4題）設(shè)數(shù)列滿足：，寫出這個數(shù)列的前5項。解：特征方程為，即，得，故數(shù)列是周期數(shù)列，，數(shù)列周期。例2（2012年“希望杯”高二組二試13）數(shù)列滿足，記數(shù)列前項的積為，則。解：特征方程為，即，得，故數(shù)列是周期數(shù)列，，數(shù)列周期，一個周期內(nèi)的四個數(shù)的乘積等于1，，故,練習(xí)：1.（2008年湖北省預(yù)賽試題）設(shè)數(shù)列滿足，則2.（2008年黑龍江省預(yù)賽試題）給定數(shù)列，，且，則ABCD3.給定數(shù)列，，且，則的值是＿＿＿。類型二：可化為等差數(shù)列型例3已知數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式。解：特征方程為，即，得，由，得，，，數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列，所以，即。例4已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。,解：特征方程，得，則取倒數(shù)得：，，數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列，所以，即。例5已知函數(shù)的圖像過點，且方程有兩個相等的實數(shù)根。（1）求的值；（2）若正項數(shù)列滿足，求。解：易得，，，特征方程，得，取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列，所以，即。類型三：可構(gòu)造等比數(shù)列型例6（2009江西理）各項均為正數(shù)的數(shù)列中，，且對滿足的正整數(shù)都有：，,（1）當(dāng)時，求通項公式；（2）略。解：令，得，把代入上式，整理得，特征方程為，得。則，上兩式相除得故數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，首項是，所以，化簡得。例7（2012全國卷大綱理22）函數(shù)，定義數(shù)列如下：是過兩點的直線與軸交點的橫坐標(biāo)，（1）證明：；（2）求數(shù)列的通項公式。解：（1）略；（2）由已知可，特征方程為，得。下面與例6解法相同，可得：數(shù)列是公比為5的等比數(shù)列，首項是，,故，化簡得，例8（2010全國數(shù)學(xué)競賽安徽省預(yù)選賽9）數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：特征方程為，得。則，上兩式相除得故數(shù)列是公比為-2的等比數(shù)列，首項是，所以，化簡得。例9（2014年“希望杯”高二組一試）數(shù)列滿足：，，，。解：由已知得，特征方程，得，則，又上兩式相除，得，,故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項是，所以，化簡得。例10（2011年“華約”自主招生）已知函數(shù)，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：。解：易得，，，特征方程，得，下面與例9的解法相同，可得：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項是，所以，化簡得。說明：對于型的遞推式，可以直接取倒數(shù)，化為，再轉(zhuǎn)化為型求解。例11（2005重慶文22）數(shù)列滿足，記，（1）求；（2）求的通項公式，及前項和。,分析：由已知得：，本題沒有要求我們求，而是通過構(gòu)造數(shù)列，求出，再由解決問題。另外，由，也為我們提供了求的新方法，即作變換。下面我們只求。解：特征方程，得，方法1：由，取倒數(shù)得：，因為，所以，轉(zhuǎn)化為型求解，易得，方法2：，取倒數(shù)得：，因為，所以，也轉(zhuǎn)化為型求解，易得，方法3：,，，上兩式相除，得，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，首項是，所以，化簡得。,第十六講利用數(shù)列公式求通項公式例1：已知數(shù)列的前項和滿足：，求數(shù)列的通項公式。解：法一（消去，保留）,，兩式相減得：，即又，故數(shù)列從第2項開始為等比數(shù)列。故法二（消去，保留）由已知，及，得，即，故數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，通項公式為，當(dāng)時，有，故例2：.（2013廣東理19）設(shè)數(shù)列的前項和，已知，⑴求的值；⑵求的通項公式；⑶證明：對一切正整數(shù)，有。解：已知遞推式即⑴當(dāng)時，，即，故。⑵法一（消去，保留）當(dāng)時，由，得,，兩式相減得，得，即，又，故數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列，有，即。法二（消去，保留）由已知，及，得即即故數(shù)列是公差為，首項為的等差數(shù)列，所以，即。當(dāng)時，又，滿足上式，故。例3：（2012廣東理19）設(shè)數(shù)列的前項和，滿足，且成等差數(shù)列。⑴求的值；⑵求的通項公式；⑶證明：對一切正整數(shù)，有。,解：⑴易得。⑵由，得，兩式相減得：，即，又也滿足，故法一：由，得數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，得，即，法二：兩邊同除以，得，得，數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，得，即，法三：兩邊同除以并移項，得，利用累加法得，，由也適合上式，故。,第十七講數(shù)列求和的基本方法一、錯位相減法在數(shù)列求和中的應(yīng)用近年來，高考中數(shù)列問題正向多元化發(fā)展，命題中含有復(fù)合數(shù)列屢見不鮮.要想在高考中從容應(yīng)對,就需熟練掌握等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識,同時要善于把非等差等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列來求解.現(xiàn)對數(shù)列求和的方法----錯位相減法簡要分析如下：一.利用錯位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式.已知等比數(shù)列,它的前項和是,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式,上式可寫成①①的兩邊乘得②①的兩邊減去②的兩邊,得當(dāng)時,等比數(shù)列的前項和的公式又因為所以上面公式可寫成當(dāng)時，點評：通過將①式的左右兩邊同時乘以公比,使②式與①,式產(chǎn)生錯位后相減得出.二、應(yīng)用錯位相減法求和如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項乘積組成，此時求和可采用錯位相減法.例1、求數(shù)列的前項和分析：數(shù)列成等差數(shù)列，數(shù)列成等比數(shù)列，此例用錯位相減法可達(dá)到目的.同時應(yīng)注意和兩種情況.解：若，則若,則①①式兩邊同乘以，得②①減去②得所以點評：這個數(shù)列可以看成一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項的乘積，這種數(shù)列我們稱為“混合數(shù)列”，解決這類問題的常用方法是：依照等比數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)方法——錯位相減法，特別注意分和兩種情況討論.例2、設(shè)是等差數(shù)列，是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且,,.⑴求,的通項公式.,⑵求數(shù)列的前項和.解：⑴設(shè)的公差為，的公比為則依題意有>0且解得所以,,⑵,①②②減去①得==點評：本題主要考查數(shù)列的概念，等差數(shù)列，等比數(shù)列，及求數(shù)列前項和的方法等基礎(chǔ)知識，考查運算能力.第⑵問就運用了混合數(shù)列的求和方法----錯位相減法.小結(jié)：（乘公比）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項的乘積構(gòu)成，那么求此數(shù)列的前,項和時一般采用（乘公比）錯位相減法，若公比是字母，需對其進行討論。練習(xí)1設(shè)數(shù)列的前項和，數(shù)列滿足，且。⑴求通項；⑵求數(shù)列的前項和。2：已知等差數(shù)列的公差為，恰為等比數(shù)列的前3項，且⑴求數(shù)列，的通項公式；⑵令，求數(shù)列的前項和.二、數(shù)列求和之裂項相消法在多年的教學(xué)實踐中經(jīng)常能遇到應(yīng)用裂項相消法求數(shù)列和的題型，裂項相消法就是利用分解與組合的思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項相消法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(一般是通項)進行分解，然后再重新組合，使之能消去一些項，最終達(dá)到求和的口的.特別適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩項或多項的差的形式，即利用，然后累加時抵消中間的許多項從而化繁為簡.從而解決數(shù)列求和的問題，下面就從具體例子中來觀察裂項相消法的具體優(yōu)勢所在.等差數(shù)列積的倒數(shù)和已知等差數(shù)列解,+含二次根式的數(shù)列和已知正項等差數(shù)列解含三角函數(shù)的數(shù)列和求和：解,含排列組合種數(shù)求和（1）解(2)解在運用裂項相消法時，要注意細(xì)節(jié)和一些關(guān)鍵之處，特別注意裂項規(guī)律問題，留下項的項數(shù)以及裂項的實質(zhì)。形如的求和（）（1）解析一：發(fā)現(xiàn)數(shù)列的特點是等差與等比相乘，則通法是錯位相減法，但并不是唯一的方法，從教學(xué)反饋中可以看出，學(xué)生在使用錯位相減法做題時，在運算過程中容易出錯，有沒有其他方法呢？解析二：,發(fā)現(xiàn)如能熟練掌握好裂項相消法的技巧，就可以化難為易，化繁為簡，減少計算量，提高正確率.凡是等差與等比相乘的數(shù)列都可以利用這個思路，巧妙裂項而達(dá)到順利求和的目的.一般結(jié)論推導(dǎo)過程：6..形如的求和（）求：解析：反思：此題首先考慮分子與分母兩個因子之間的線性關(guān)系，這個關(guān)鍵的一步，然后再利用了分式的性質(zhì)恒等變形而達(dá)到了裂項的目的，可謂巧妙絕倫。,總結(jié)：利用裂項相消解題時，首先要善于觀察數(shù)列通項的基本特征，找到正確的解題方向，透過表面現(xiàn)象看其本質(zhì)，這樣才能確定思路；其次，要善于轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)家波利亞在《怎樣解題》中說過：數(shù)學(xué)解題是命題的連續(xù)變換，只要做到這兩點，我們在解題過程中，就可以體會到“山窮水路疑無路，柳暗花明又一村”的解題效果。小結(jié)裂項相消法：把數(shù)列的通項分裂成兩項之差后求和，正負(fù)項相消，剩下首尾若干項。使用此方法時必須搞清楚消去了哪些項，保留了哪些項，一般未被消去的項有前后對稱的特點。練習(xí)1：求數(shù)列的前項和2：求和。3：已知數(shù)列的前項和是，且。⑴求數(shù)列的通項公式；⑵設(shè)，求適合方程的值。4：數(shù)列的前10項和為＿＿＿＿。5：（2013江西）正項數(shù)列的前項和滿足：。⑴求數(shù)列的通項公式；⑵令，數(shù)列的前項和為，證明：對任意的，都有。6：已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列．,（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．7：數(shù)列滿足，，⑴設(shè)，求數(shù)列的通項公式；⑵設(shè)，數(shù)列的前項和為，不等式對一切恒成立，求的取值范圍。8：已知數(shù)列滿足：，用表示不超過的最大整數(shù)，則三、其他求和方法1.公式法：公式法是數(shù)列求和的最常用方法之一，可直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，也可利用常見的求前項和的公式，如：,2.并項求和法：在數(shù)列中有相鄰兩項或幾項的和是同一常數(shù)或有規(guī)律可循時，采用并項求和法較簡便。例1：求和：例2：求和：例3：（2012新課標(biāo)全國）數(shù)列滿足，則的前60項和為＿＿＿＿。3.拆項（分組）求和法：有些數(shù)列，通過適當(dāng)拆項或分組后，可得到幾個等差或等比數(shù)列，這樣就可利用公式法進一步求和了。例1：求數(shù)列的前項和。例2：數(shù)列的前項和為，則4.倒序相加法：當(dāng)把一個數(shù)列倒過來排序，與原數(shù)列對應(yīng)項相加后有公因式可提，且余下的項容易求和，這時一般可用倒序相加法求其前項和。例1：設(shè)，求和：。例2：設(shè)，則。例3：設(shè)，則例4：設(shè)函數(shù)上兩點、，若=([來源:Zxxk.Com],+),且的橫坐標(biāo)為。（Ⅰ）求點的縱坐標(biāo)；（Ⅱ）若，求；（Ⅲ）記為數(shù)列的前項和，若對一切第十八講數(shù)列型不等式的證明,數(shù)列型不等式問題在近年逐漸成為高考熱點，數(shù)列型不等式問題常被設(shè)置為高考壓軸題，能力要求較高。因其仍然是不等式問題，可用處理不等式的方法：基本不等式法；比較法；放縮法，函數(shù)單調(diào)性法等都是常用的方法；但數(shù)列型不等式與自然數(shù)有關(guān)，因而還有一種行之有效的方法：數(shù)學(xué)歸納法。重要不等式法若數(shù)列不等式形如下式，可用均值不等式法求證。（1）;（2）（3）比較法比較法是證明不等式的基本方法，可以作差比較也可以作商比較，是一種易于掌握的方法。放縮法常用的放縮結(jié)論：①、其中（）②③、用放縮法解題的途徑一般有兩條，一是先求和再放縮，二是先放縮再求和。（1）、先求和再放縮,一般先分析數(shù)列的通項公式，如果此數(shù)列的前n項和能直接求和或通過變形后可以求和，則采用先求和再放縮的方法證明不等式。數(shù)列求和的方法較多，我們在數(shù)列求和的專題中有具體的講解，主要用的有公式法、裂項法、倒序相加法、分組求和法等方法。例1、已知函數(shù)對任意實數(shù)都滿足，且，（1）當(dāng)時，求的表達(dá)式；（2）設(shè)，是其前項和，試證明.分析：不難求得，于是.對于，這是一個“差比”數(shù)列的和，可以用錯位相減法求出，然后再與比較大小.于是有：①，②，兩式相減得：，化簡得，顯然有.（2）、先放縮再求和高考數(shù)列不等式證明一般用此法的較多，對此法往往又有以下幾個具體情況。①、將數(shù)列的通項進行去項或添項的適當(dāng)放縮，使之成為我們所熟悉的等差、等比或差比數(shù)列進而進行求和證明；②,、對通項式進行裂項處理，并對其中某些項的分母進行適當(dāng)放縮，構(gòu)成便于加減相消的結(jié)構(gòu)或變形出能使用重要不等式法的結(jié)構(gòu)，使題目便于證明。③、以某一不等關(guān)系為依據(jù)建立起相鄰兩項的不等關(guān)系進行逐層遞推放縮，以尋求各項與首項的不等關(guān)系。④、利用二項式定理將通項展開后進行適度放縮，有時展開后只需保留其中一部分就可達(dá)到放縮的目的。⑤、先分組在放縮比較例2、（2002全國卷）設(shè)數(shù)列滿足，（1）當(dāng)時，求，并由此猜想出的一個通項公式；（2）當(dāng)時，證明對所有的，有（Ⅰ）；（Ⅱ）.分析：（1）略.對于（2）中的（Ⅱ），由及（Ⅰ）中的可知，從而，，于是.說明：對于一些復(fù)雜的數(shù)列不等式，考慮將每一項進行確當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小是一種常見的方法，而方法的尋找要結(jié)合題設(shè)條件和要證的結(jié)論，看它們的內(nèi)在關(guān)系，考慮將通項朝什么方向進行放縮。請你思考一下，直接由得，能證明這個問題嗎？,例3、（2004全國卷改編）已知數(shù)列的前項和滿足：，（1）寫出數(shù)列的前三項，并求數(shù)列的通項公式；（2）證明對任意的整數(shù)，有.分析：（1），過程略.對于（2），顯然.當(dāng)且為奇數(shù)時，，所以當(dāng)且為偶數(shù)時，；當(dāng)且為奇數(shù)時，，綜上所述對任意的整數(shù)，有成立.說明：通過計算比較可以發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的通項規(guī)律較復(fù)雜，用求和的方法計算難度很大，這時可以通過兩個方面來尋找解題方向，一是看通項的特點，二是從特殊入手，例如取等進行比對發(fā)現(xiàn).此外發(fā)現(xiàn)數(shù)值也是很重要的一點.,數(shù)學(xué)歸納法例4、設(shè)數(shù)列{}滿足證明對所有的，有:（i）;（ii）分析:（Ⅰ）由數(shù)學(xué)歸納法知，，，……2分對，有，。對所有的，有，函數(shù)單調(diào)性法例5、證明：設(shè)，求證：證明：求導(dǎo)數(shù)可證ln(x+1)≤x,